有些解法需要在中间步骤用到分数
在解法中, 我们经常看到除法出现。比如对 (1, 7, 12, 13), 一个解是 (13+1)×(12/7)， 这个看似需要分数. 但实际上分数是不需要的， 因为 (13+1)×12/7 和以上解等价.
不过对于 (5 7 7 11) 来说, 唯一的解法是 (5-11/7)×7， 对这个解法， 分数是在中间步骤中必须的. 计算分数对人的大脑构成一定挑战，使解法更复杂。 所以我们想知道有多少解法是必须计算分数的
有16种组合的解法是必须有分数的， 详细如下. 它们都是很难的。 在所有1362个可解的组合中， 这些需要分数的组合基本都排名前200，详细排名。
| 序号 | 题目 | 解法 | 难度排名 |
| 131 | 1 3 4 6 | 6/(1-3/4) | 2 |
| 190 | 1 4 5 6 | 6/(5/4-1) 和 4/(1-5/6) | 4 |
| 225 | 1 5 5 5 | (5-1/5)×5 | 64 |
| 265 | 1 6 6 8 | 6/(1-6/8) | 7 |
| 323 | 1 8 12 12 | 12/(12/8-1) | 15 |
| 405 | 2 2 11 11 | (2/11+2)×11 | 43 |
| 410 | 2 2 13 13 | (2-2/13)×13 | 35 |
| 438 | 2 3 5 12 | 12/(3-5/2) | 1 |
| 517 | 2 4 10 10 | (4/10+2)×10 | 9 |
| 528 | 2 5 5 10 | (5-2/10)×5 | 3 |
| 595 | 2 7 7 10 | (10/7+2)×7 | 22 |
| 695 | 3 3 7 7 | (3/7+3)×7 | 55 |
| 701 | 3 3 8 8 | 8/(3-8/3) | 5 |
| 923 | 4 4 7 7 | (4-4/7)×7 | 51 |
| 1083 | 5 5 7 11 | (7-11/5)×5 | 20 |
| 1135 | 5 7 7 11 | (5-11/7)×7 | 24 |
在所有的24点游戏中，总共有 103 种解法用到分数.
其中, (1 4 5 6), (1 6 9 12), (2 4 6 9) 和 (4 5 8 10) 各有两种解法用到分数. 详细如下：
| 11 | 1 1 2 12 | 12/(1-1/2) |
| 65 | 1 2 3 8 | 8/(1-2/3) |
| 69 | 1 2 3 12 | 12/(3/2-1) |
| 79 | 1 2 4 12 | 12/(1-2/4) |
| 114 | 1 2 11 12 | 2/(1-11/12) |
| 117 | 1 2 12 13 | 2/(13/12-1) |
| 125 | 1 3 3 9 | (3-1/3)×9 |
| 131 | 1 3 4 6 | 6/(1-3/4) |
| 133 | 1 3 4 8 | 8/(4/3-1) |
| 142 | 1 3 5 9 | (5/3+1)×9 |
| 153 | 1 3 6 12 | 12/(1-3/6) |
| 156 | 1 3 7 8 | 3/(1-7/8) |
| 162 | 1 3 8 9 | 3/(9/8-1) |
| 169 | 1 3 9 11 | (11/3-1)×9 |
| 190 | 1 4 5 6 | 6/(5/4-1) 和 4/(1-5/6) |
| 199 | 1 4 6 7 | 4/(7/6-1) |
| 200 | 1 4 6 8 | 8/(1-4/6) |
| 204 | 1 4 6 12 | 12/(6/4-1) |
| 215 | 1 4 8 12 | 12/(1-4/8) |
| 223 | 1 4 10 12 | 4/(1-10/12) |
| 225 | 1 5 5 5 | (5-1/5)×5 |
| 242 | 1 5 7 10 | (7/5+1)×10 |
| 247 | 1 5 8 9 | 9/(1-5/8) |
| 259 | 1 5 10 12 | 12/(1-5/10) |
| 265 | 1 6 6 8 | 6/(1-6/8) |
| 275 | 1 6 8 8 | 8/(8/6-1) |
| 276 | 1 6 8 9 | 8/(1-6/9) |
| 277 | 1 6 8 10 | 6/(10/8-1) |
| 282 | 1 6 9 10 | (10/6+1)×9 |
| 283 | 1 6 9 12 | 12/(9/6-1) 和 6/(1-9/12) |
| 289 | 1 6 12 12 | 12/(1-6/12) |
| 305 | 1 7 10 12 | 10/(1-7/12) |
| 314 | 1 8 8 12 | 8/(1-8/12) |
| 315 | 1 8 9 11 | 9/(11/8-1) |
| 316 | 1 8 9 12 | 8/(12/9-1) |
| 323 | 1 8 12 12 | 12/(12/8-1) |
| 336 | 1 11 11 13 | (13/11+1)×11 |
| 339 | 1 11 13 13 | (11/13+1)×13 |
| 359 | 2 2 3 9 | (2/3+2)×9 |
| 362 | 2 2 3 12 | 12/(2-3/2) |
| 379 | 2 2 5 10 | (2/5+2)×10 |
| 381 | 2 2 5 12 | 12/(5/2-2) |
| 405 | 2 2 11 11 | (2/11+2)×11 |
| 410 | 2 2 13 13 | (2-2/13)×13 |
| 434 | 2 3 5 8 | 8/(2-5/3) |
| 438 | 2 3 5 12 | 12/(3-5/2) |
| 443 | 2 3 6 9 | (3-2/6)×9 |
| 449 | 2 3 7 8 | 8/(7/3-2) |
| 453 | 2 3 7 12 | 12/(7/2-3) |
| 494 | 2 4 6 7 | 6/(2-7/4) |
| 496 | 2 4 6 9 | (4/6+2)×9 和 6/(9/4-2) |
| 498 | 2 4 6 11 | 4/(2-11/6) |
| 499 | 2 4 6 12 | 12/(2-6/4) |
| 500 | 2 4 6 13 | 4/(13/6-2) |
| 506 | 2 4 7 12 | 12/(4-7/2) |
| 515 | 2 4 9 12 | 12/(9/2-4) |
| 517 | 2 4 10 10 | (4/10+2)×10 |
| 519 | 2 4 10 12 | 12/(10/4-2) |
| 528 | 2 5 5 10 | (5-2/10)×5 |
| 554 | 2 5 9 12 | 12/(5-9/2) |
| 559 | 2 5 11 12 | 12/(11/2-5) |
| 578 | 2 6 8 10 | 8/(2-10/6) |
| 582 | 2 6 9 9 | (6/9+2)×9 |
| 585 | 2 6 9 12 | 12/(2-9/6) |
| 590 | 2 6 11 12 | 12/(6-11/2) |
| 593 | 2 6 12 13 | 12/(13/2-6) |
| 595 | 2 7 7 10 | (10/7+2)×7 |
| 612 | 2 7 12 13 | 12/(7-13/2) |
| 622 | 2 8 9 12 | (8/12+2)×9 |
| 623 | 2 8 9 13 | 9/(2-13/8) |
| 630 | 2 8 12 12 | 12/(2-12/8) |
| 684 | 3 3 5 10 | (3-3/5)×10 |
| 695 | 3 3 7 7 | (3/7+3)×7 |
| 701 | 3 3 8 8 | 8/(3-8/3) |
| 703 | 3 3 8 10 | 8/(10/3-3) |
| 706 | 3 3 9 9 | (3-3/9)×9 |
| 721 | 3 4 4 9 | (4-4/3)×9 |
| 739 | 3 4 6 11 | 6/(3-11/4) |
| 741 | 3 4 6 13 | 6/(13/4-3) |
| 750 | 3 4 8 11 | 8/(4-11/3) |
| 752 | 3 4 8 13 | 8/(13/3-4) |
| 755 | 3 4 9 12 | (3-4/12)×9 |
| 758 | 3 4 10 12 | 12/(3-10/4) |
| 767 | 3 5 5 9 | (9/5+3)×5 |
| 779 | 3 5 7 9 | (5-7/3)×9 |
| 822 | 3 6 9 10 | (6-10/3)×9 |
| 826 | 3 6 10 10 | (3-6/10)×10 |
| 850 | 3 7 9 13 | (7-13/3)×9 |
| 886 | 3 9 11 11 | (3-9/11)×11 |
| 909 | 4 4 5 5 | (4/5+4)×5 |
| 923 | 4 4 7 7 | (4-4/7)×7 |
| 967 | 4 5 8 10 | (4-8/5)×10 和 (8/10+4)×5 |
| 997 | 4 6 8 9 | (4-8/6)×9 |
| 1057 | 4 9 9 12 | (4-12/9)×9 |
| 1076 | 5 5 6 6 | (6-6/5)×5 |
| 1083 | 5 5 7 11 | (7-11/5)×5 |
| 1095 | 5 5 10 13 | (5-13/5)×10 |
| 1125 | 5 6 10 12 | (6-12/10)×5 |
| 1135 | 5 7 7 11 | (5-11/7)×7 |